每日一题
设 $f(x) = \frac{1}{\arctan\frac{x-1}{x}}$ 则
\begin{tasks}
$x=0$ 与 $x=1$ 都是 $f(x)$ 的第一类间断点。
$x=0$ 与 $x=1$ 都是 $f(x)$ 的第二类间断点。
$x=0$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点，$x=1$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点。
$x=0$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点，$x=1$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点。
\begin{tasks}
$x=0$ 与 $x=1$ 都是 $f(x)$ 的第一类间断点。
$x=0$ 与 $x=1$ 都是 $f(x)$ 的第二类间断点。
$x=0$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点，$x=1$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点。
$x=0$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点，$x=1$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点。
答案：C（$x = 0$ 是第一类间断点，$x = 1$ 是第二类间断点）
考察 $x = 0$ 处的间断类型
$\lim_{x \to 0^{\pm}} \frac{x - 1}{x} = \mp \infty$，故 $\lim_{x \to 0^{\pm}} \arctan\frac{x - 1}{x} = \mp \frac{\pi}{2}$。因此 $\lim_{x \to 0^{\pm}} f(x) = \mp \frac{2}{\pi}$，左右极限存在但不相等，$x = 0$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点
考察 $x = 1$ 处的间断类型
$\lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x} = 0$，故 $\lim_{x \to 1} \arctan\frac{x - 1}{x} = 0$，则 $\lim_{x \to 1} f(x) = \infty$，$x = 1$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点
结论
选 (C)