多元函数微分学核心内容
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一、偏导数与全微分的求法
对二元函数 $z=f(x,y)$，求偏导数时，将另一个变量看作常数，按一元函数求导处理。
$$ \frac{\partial z}{\partial x}: \text{把 } y \text{ 看作常数，将 } f(x,y) \text{ 看作 } x \text{ 的函数求导}\text{；}\quad \frac{\partial z}{\partial y}: \text{把 } x \text{ 看作常数，将 } f(x,y) \text{ 看作 } y \text{ 的函数求导} $$
当 $f(x,y)$ 可微时，全微分公式。
$$ df(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy $$
给定点 $(x_0,y_0)$ 处的全微分。
$$ df(x_0,y_0) = \frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(x_0,y_0)} dx + \frac{\partial f}{\partial y}\bigg|_{(x_0,y_0)} dy $$
对三元函数 $u=f(x,y,z)$，类似地有：$du = \frac{\partial u}{\partial x}dx + \frac{\partial u}{\partial y}dy + \frac{\partial u}{\partial z}dz$；求高阶偏导数时道理相同，如 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial x})$，$\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial x})$
例1：求偏导数与全微分
已知函数 $z=x^2\sin y+x^y$ $(x>0, x\neq 1)$。(1) 求 $\frac{\partial z}{\partial x}$，$\frac{\partial z}{\partial y}$；(2) 求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$，$\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$；(3) 求 $z$ 在 $(2,1)$ 处的全微分。
(1) $\frac{\partial z}{\partial x} = 2x\sin y + y\cdot x^{y-1}$，$\frac{\partial z}{\partial y} = x^2\cos y + x^y\cdot\ln x$；(2) $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2\sin y + y(y-1)x^{y-2}$，$\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} = 2x\cos y + x^{y-1} + y\cdot x^{y-1}\ln x$；(3) $\frac{\partial z}{\partial x}(2,1)=4\sin 1+1$，$\frac{\partial z}{\partial y}(2,1)=4\cos 1+2\ln 2$，故 $dz|_{(2,1)}=(4\sin 1+1)dx+(4\cos 1+2\ln 2)dy$
二、偏导数与全微分的定义
偏导数的定义。
$$ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}\text{；}\quad \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\lim_{\Delta y\to 0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y} $$
可微的定义：$z=f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处可微是指函数改变量可以表示为线性主部加上高阶无穷小。
$$ \Delta z = f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)\text{，其中} \rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\text{，}\lim_{\rho\to 0}\frac{o(\rho)}{\rho}=0 $$
此时称 $A\Delta x+B\Delta y$ 为 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处的微分，且可微时偏导数必存在，$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$。
例2：用定义讨论偏导数与可微性
已知 $f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}, & x^2+y^2\neq 0 \\ 0, & x^2+y^2=0 \end{cases}$，讨论 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处的偏导数及可微性。
$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(0+\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{0}{\Delta x}=0$，同理 $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0$。考察 $\Delta f - \frac{\partial f}{\partial x}\Delta x - \frac{\partial f}{\partial y}\Delta y = \frac{\Delta x\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}$，而 $\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{\Delta x\Delta y}{\Delta x^2+\Delta y^2}$，令 $\Delta y=k\Delta x$ 得 $\frac{k}{1+k^2}$，与 $k$ 有关，极限不存在，故 $f$ 在 $(0,0)$ 处不可微。
连续性、偏导数存在、可微与偏导数连续的关系：偏导数连续 $\Rightarrow$ 可微 $\Rightarrow$ 偏导数存在；可微 $\Rightarrow$ 连续；但偏导数存在 $\nRightarrow$ 可微，可微 $\nRightarrow$ 偏导数连续。
三、多元函数复合求导的链式法则
设 $z=f(u,v)$ 可微，$u=u(x,y)$，$v=v(x,y)$ 的偏导数存在，则复合函数关于 $x,y$ 的偏导数存在。
$$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x}\text{；}\quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial y} $$
例3：复合函数求二阶偏导
已知 $z=f(x+y, x^2y)$，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$，$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$，$\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$。
令 $u=x+y$，$v=x^2y$。则 $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot 2xy$。求二阶偏导时，$\frac{\partial z}{\partial u}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial v}$ 仍是以 $u,v$ 为中间变量的复合函数，需继续用链式法则。$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 z}{\partial u^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial u\partial v}\cdot 2xy+2y\cdot\frac{\partial z}{\partial v}+2xy\left(\frac{\partial^2 z}{\partial v\partial u}+\frac{\partial^2 z}{\partial v^2}\cdot 2xy\right)$。$\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$ 类似展开，注意乘积的求导法则。
四、隐函数求导
由方程确定的隐函数的求导公式。
$$ F(x,y)=0 \text{ 确定 } y=f(x): \quad f'(x)=-\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial y}\text{；}\quad F(x,y,z)=0 \text{ 确定 } z=f(x,y): \quad \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial z}\text{，}\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{\partial F/\partial y}{\partial F/\partial z} $$
例4：隐函数求偏导
设 $z=z(x,y)$ 由方程 $2z-e^z+2xy=3$ 确定，且 $z(1,2)=0$，求 $\frac{\partial z}{\partial x}(1,2)$，$\frac{\partial z}{\partial y}(1,2)$。
令 $F(x,y,z)=2z-e^z+2xy-3$，则 $\frac{\partial F}{\partial x}=2y$，$\frac{\partial F}{\partial y}=2x$，$\frac{\partial F}{\partial z}=2-e^z$。故 $\frac{\partial z}{\partial x}\big|_{(1,2)}=-\frac{2y}{2-e^z}\big|_{(1,2,0)}=\frac{4}{-1}=-4$，$\frac{\partial z}{\partial y}\big|_{(1,2)}=-\frac{2x}{2-e^z}\big|_{(1,2,0)}=-2$。
五、方向导数与梯度
方向导数公式：若 $f(x,y,z)$ 在 $P_0$ 可微，$\vec{l}^0=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ 为单位方向向量。
$$ \frac{\partial f}{\partial \vec{l}}(P_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(P_0)\cos\alpha + \frac{\partial f}{\partial y}(P_0)\cos\beta + \frac{\partial f}{\partial z}(P_0)\cos\gamma $$
梯度定义：$f$ 在 $P_0$ 处的梯度向量，其方向是方向导数最大的方向，模长为最大方向导数值。
$$ \text{grad}f|_{P_0} = \left(\frac{\partial f}{\partial x}(P_0), \frac{\partial f}{\partial y}(P_0), \frac{\partial f}{\partial z}(P_0)\right)\text{；}\quad \max\frac{\partial f}{\partial \vec{l}} = |\text{grad}f| $$
例5：方向导数与梯度
已知 $f(x,y,z)=xy+yz+zx$，$P(1,1,2)$。(1) 求 $f$ 在 $P$ 处沿方向 $\vec{l}=(1,\sqrt{2},1)$ 的方向导数；(2) 求 $f$ 在 $P$ 处的最大方向导数。
(1) $\vec{l}^0=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2})$，$\frac{\partial f}{\partial x}(P)=3$，$\frac{\partial f}{\partial y}(P)=3$，$\frac{\partial f}{\partial z}(P)=2$。故 $\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}(P)=3\cdot\frac{1}{2}+3\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+2\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(5+3\sqrt{2})$。(2) $\text{grad}f|_P=(3,3,2)$，最大方向导数为 $|\text{grad}f|=\sqrt{9+9+4}=\sqrt{22}$。
六、空间曲面的切平面
曲面 $F(x,y,z)=0$ 在一点处的切平面法向量及切平面方程。
$$ \vec{n}=\left(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\right)\text{；}\quad \frac{\partial F}{\partial x}(P_0)(x-x_0)+\frac{\partial F}{\partial y}(P_0)(y-y_0)+\frac{\partial F}{\partial z}(P_0)(z-z_0)=0 $$
特别地，曲面为 $z=f(x,y)$ 时，法向量可写为。
$$ \vec{n}=\pm\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},-1\right) $$
例6：求切平面
求曲面 $x^2+2y^2+3z^2=21$ 上的点，使该点处的切平面平行于平面 $x+4y+6z=0$，并写出切平面方程。
设切点为 $M_0(x_0,y_0,z_0)$，令 $F=x^2+2y^2+3z^2-21$，则 $\vec{n}=(2x_0,4y_0,6z_0)$。由 $\vec{n}\parallel(1,4,6)$，令 $\frac{2x_0}{1}=\frac{4y_0}{4}=\frac{6z_0}{6}=t$，得 $x_0=\frac{t}{2},y_0=t,z_0=t$。代入曲面方程解得 $t=\pm 2$，切点为 $(1,2,2)$ 和 $(-1,-2,-2)$。切平面方程分别为 $x+4y+6z=21$ 和 $x+4y+6z=-21$。
七、空间曲线的切线
参数方程形式的曲线切线：若 $C: x=x(t), y=y(t), z=z(t)$，则切线方向向量。
$$ \vec{s}=(x'(t),y'(t),z'(t))\text{；}\quad \frac{x-x(t_0)}{x'(t_0)}=\frac{y-y(t_0)}{y'(t_0)}=\frac{z-z(t_0)}{z'(t_0)} $$
例7：参数曲线的切线
求曲线 $x=t, y=t^2, z=t^3$ 在点 $(1,1,1)$ 处的切线方程。
$(1,1,1)$ 对应 $t=1$。$x'=1,y'=2t,z'=3t^2$，故 $\vec{s}=(1,2,3)$。切线方程为 $\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}$。
两曲面交线形式的曲线切线：曲线 $C$ 为 $F(x,y,z)=0$ 和 $G(x,y,z)=0$ 的交线，则切线方向向量与两曲面法向量都垂直。
$$ \vec{s}=\vec{n}_1\times\vec{n}_2\text{，其中} \vec{n}_1=(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z})\text{，}\vec{n}_2=(\frac{\partial G}{\partial x},\frac{\partial G}{\partial y},\frac{\partial G}{\partial z}) $$
例8：两曲面交线的切线
求曲线 $\begin{cases} 2x-e^y+z^2=9 \\ 2x^2+y^2-3z^2=6 \end{cases}$ 在点 $M(3,0,2)$ 处的切线方程。
$\vec{n}_1=(2,-e^y,2z)|_M=(2,-1,4)$，$\vec{n}_2=(4x,2y,-6z)|_M=(12,0,-12)$。$\vec{s}=\vec{n}_1\times\vec{n}_2$，$\vec{n}_2$ 可同时除以12得 $(1,0,-1)$，计算叉乘得方向向量，再由点向式写出切线方程。
八、非条件极值
求 $f(x,y)$ 极值的一般方法：第一步解驻点方程组；第二步用二阶偏导数判别。
$$ \text{① 解 } \begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x}=0 \\ \frac{\partial f}{\partial y}=0 \end{cases} \text{ 得驻点}\text{；}\quad \text{② 计算 } A=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, B=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}, C=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} $$
判别法则：$AC-B^2>0$ 且 $A>0$ 为极小值点；$AC-B^2>0$ 且 $A<0$ 为极大值点；$AC-B^2<0$ 不是极值点；$AC-B^2=0$ 无法判断。
$$ AC-B^2>0, A>0: \text{极小值点}\text{；}\quad AC-B^2>0, A<0: \text{极大值点}\text{；}\quad AC-B^2<0: \text{非极值点}\text{；}\quad AC-B^2=0: \text{无法判断} $$
例9：求非条件极值
求 $f(x,y)=e^{2x}(x+y^2+2y)$ 的极值。
解驻点方程得 $M_0(\frac{1}{2},-1)$。计算 $A=2e^{2x}(2x+2y^2+4y+2)$，$B=e^{2x}(4y+4)$，$C=2e^{2x}$。在 $M_0$ 处，$A=2e,B=0,C=2e$，$AC-B^2=4e^2>0$ 且 $A>0$，故 $M_0$ 是极小值点，极小值为 $f(\frac{1}{2},-1)=-\frac{e}{2}$。
九、条件极值
求 $f(x,y)$ 在条件 $\varphi(x,y)=0$ 下的极值，用Lagrange乘数法。
$$ \text{令 } F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)\text{，}\text{求 } F \text{ 的驻点，再判断是否为极值点} $$
对三元函数 $f(x,y,z)$ 有两个条件 $\varphi_1=0,\varphi_2=0$ 时。
$$ F(x,y,z,\lambda,\mu)=f(x,y,z)+\lambda\varphi_1(x,y,z)+\mu\varphi_2(x,y,z) $$
例10：条件极值
在曲线 $L:\begin{cases} x^2+y^2=2z^2 \\ x+y+3z=5 \end{cases}$ 上，求使 $f(x,y,z)=z^2$ 分别取最大值和最小值的点。
令 $F=z^2+\lambda(x^2+y^2-2z^2)+\mu(x+y+3z-5)$。解方程组 $\frac{\partial F}{\partial x}=2\lambda x+\mu=0$，$\frac{\partial F}{\partial y}=2\lambda y+\mu=0$，$\frac{\partial F}{\partial z}=2z-4\lambda z+3\mu=0$，及两个约束条件，得驻点 $M_1(1,1,1)$ 和 $M_2(-5,-5,5)$。由 $z^2$ 在闭曲线 $L$ 上必取最值，比较得 $M_1$ 为最小值点（$z^2=1$），$M_2$ 为最大值点（$z^2=25$）。
📝 知识点总结
本节系统讲解了多元函数微分学的核心内容，包括偏导数与全微分的计算方法、定义理解、复合函数链式求导法则、隐函数求导、方向导数与梯度、空间曲面的切平面与空间曲线的切线等几何应用，以及非条件极值和条件极值（Lagrange乘数法）的求解方法。各知识点均配有典型例题，强调了链式法则在高阶偏导中的反复应用、隐函数公式的直接使用、以及极值问题中判别法和实际意义分析的重要性。