重积分的计算方法
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一、二重积分的计算
二重积分的一般形式
$I=\iint_D f(x,y)dxdy$
X-型域：当$D$为标准的X-型域时，$D$可表示为
$D=\{(x,y)|a\leq x\leq b, \varphi_1(x)\leq y\leq \varphi_2(x)\}$
此时二重积分化为先对$y$后对$x$的二次积分
$I=\int_a^b dx \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)dy$
Y-型域：当$D$为标准的Y-型域时，$D$可表示为
$D=\{(x,y)|c\leq y\leq d, \psi_1(y)\leq x\leq \psi_2(y)\}$
此时二重积分化为先对$x$后对$y$的二次积分
$I=\int_c^d dy \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x,y)dx$
注意：① 画出图形，根据图形判断D是X-型还是Y-型，写出D的表达式。② 会计算定积分。③ 若区域不是标准X-型或Y-型，需分成几个标准区域分别计算再相加。
例1：直角坐标系下二重积分的计算
计算 $I=\iint_{D} \frac{x^{2}}{y^{2}} dx dy$，其中 $D$ 是由 $xy=1$，$y=x$ 及 $y=2$ 所围的区域。
法一（Y-型域）：$D=\{(x,y): 1\leq y\leq 2, \frac{1}{y}\leq x\leq y\}$，则
$I = \int_1^2 dy \int_{\frac{1}{y}}^y \frac{x^2}{y^2} dx = \int_1^2 \frac{1}{y^2}\cdot\frac{1}{3}x^3\big|_{\frac{1}{y}}^y dy = \cdots = \frac{27}{64}$
法二（X-型域，需分两块）：
$D_1 = \{(x,y): \frac{1}{2}\leq x\leq 1, \frac{1}{x}\leq y\leq 2\}$
$D_2 = \{(x,y): 1\leq x\leq 2, x\leq y\leq 2\}$
$I = \int_{\frac{1}{2}}^1 dx \int_{\frac{1}{x}}^2 \frac{x^2}{y^2}dy + \int_1^2 dx \int_x^2 \frac{x^2}{y^2}dy$，结果与法一相同。
$I = \int_1^2 dy \int_{\frac{1}{y}}^y \frac{x^2}{y^2} dx = \int_1^2 \frac{1}{y^2}\cdot\frac{1}{3}x^3\big|_{\frac{1}{y}}^y dy = \cdots = \frac{27}{64}$
法二（X-型域，需分两块）：
$D_1 = \{(x,y): \frac{1}{2}\leq x\leq 1, \frac{1}{x}\leq y\leq 2\}$
$D_2 = \{(x,y): 1\leq x\leq 2, x\leq y\leq 2\}$
$I = \int_{\frac{1}{2}}^1 dx \int_{\frac{1}{x}}^2 \frac{x^2}{y^2}dy + \int_1^2 dx \int_x^2 \frac{x^2}{y^2}dy$，结果与法一相同。
二、极坐标系下二重积分的计算
极坐标变换公式
$\begin{cases} x=\rho\cos\theta \\ y=\rho\sin\theta \end{cases}$
极坐标下二重积分变换公式：将$(\rho,\theta)\in E$变为$(x,y)\in D$，则有
$\iint_D f(x,y)dxdy = \iint_E f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho d\rho d\theta$
注意：① 从$dxdy$到$d\rho d\theta$时，多了一个因子$\rho$，不要漏写。② 会将$E$表示成极坐标下用$\rho$和$\theta$表示的形式。③ 当$D$为圆或圆的一部分，或者$f(x,y)$含有$x^2+y^2$的形式时，可考虑用极坐标。
例2：极坐标计算二重积分
计算 $I=\iint_D \frac{dxdy}{\sqrt{1-x^2-y^2}}$，其中 $D=\{(x,y)|x^2+y^2 \leq \frac{1}{4}\}$
$x^2+y^2=\frac{1}{4} \Leftrightarrow \rho=\frac{1}{2}$
$D=\{(\rho,\theta): 0\leq \theta\leq 2\pi, 0\leq \rho\leq \frac{1}{2}\}$
$I=\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-\rho^2}}\cdot\rho d\rho = \int_0^{2\pi} (-\sqrt{1-\rho^2})\big|_0^{\frac{1}{2}} d\theta = \cdots$
$D=\{(\rho,\theta): 0\leq \theta\leq 2\pi, 0\leq \rho\leq \frac{1}{2}\}$
$I=\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-\rho^2}}\cdot\rho d\rho = \int_0^{2\pi} (-\sqrt{1-\rho^2})\big|_0^{\frac{1}{2}} d\theta = \cdots$
例3：求两圆之间的区域面积
求圆$x^2+y^2=1$的外部与圆$x^2+y^2=2x$的内部之间的区域$D$的面积$S$。
$S=\iint_D dxdy$
$x^2+y^2=1 \Leftrightarrow \rho=1$
$x^2+y^2=2x \Leftrightarrow \rho=2\cos\theta$
两圆交点为$\rho=1, \theta=\pm\frac{\pi}{3}$
$D=\{(\rho,\theta): -\frac{\pi}{3}\leq\theta\leq\frac{\pi}{3}, 1\leq\rho\leq 2\cos\theta\}$
$S=\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} d\theta \int_1^{2\cos\theta} \rho d\rho = \cdots$
$x^2+y^2=1 \Leftrightarrow \rho=1$
$x^2+y^2=2x \Leftrightarrow \rho=2\cos\theta$
两圆交点为$\rho=1, \theta=\pm\frac{\pi}{3}$
$D=\{(\rho,\theta): -\frac{\pi}{3}\leq\theta\leq\frac{\pi}{3}, 1\leq\rho\leq 2\cos\theta\}$
$S=\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} d\theta \int_1^{2\cos\theta} \rho d\rho = \cdots$
三、直角坐标系下三重积分的计算
三重积分的一般形式
$I=\iiint_{\Omega} f(x,y,z) dxdydz$
先一后二法（投影法）：若$\Omega$在$xOy$平面上投影为$D_{xy}$，且$\Omega$可表示为
$\Omega = \{(x,y,z) | (x,y) \in D_{xy}, \varphi(x,y) \leq z \leq \psi(x,y)\}$
则三重积分化为
$I = \iint_{D_{xy}} dxdy \int_{\varphi(x,y)}^{\psi(x,y)} f(x,y,z) dz$
先二后一法（截面法）：若$\Omega$中$z$介于常数$a,b$之间，过$(0,0,z)$平行于$xOy$平面的截面在$xOy$平面上投影为$D_z$，且$\Omega$可表示为
$\Omega = \{(x,y,z) | a \leq z \leq b, (x,y) \in D_z\}$
则三重积分化为
$I = \int_a^b dz \iint_{D_z} f(x,y,z) dxdy$
注意：① 难点之一是根据$\Omega$的形状选择积分方法。② 难点之二是正确将$\Omega$用$x,y,z$的不等式表示出来。
例4：三重积分的计算（先一后二与先二后一）
计算 $I=\iiint_{\Omega} x dxdydz$，其中$\Omega$是三个坐标面与平面$x+y+z=1$所围成的区域。
法一（先一后二）：
$\Omega=\{(x,y,z): (x,y)\in D_{xy}, 0\leq z\leq 1-x-y\}$
其中$D_{xy}=\{(x,y): 0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq 1-x\}$
$I=\iint_{D_{xy}} dxdy \int_0^{1-x-y} x dz = \iint_{D_{xy}} x(1-x-y)dxdy = \cdots = \frac{1}{24}$
法二（先二后一）：
$\Omega=\{(x,y,z): 0\leq z\leq 1, (x,y)\in D_z\}$
其中$D_z=\{(x,y): 0\leq x\leq 1-z, 0\leq y\leq 1-z-x\}$
$I=\int_0^1 dz \iint_{D_z} x dxdy = \int_0^1 dz \int_0^{1-z} dx \int_0^{1-z-x} x dy = \cdots = \frac{1}{24}$
$\Omega=\{(x,y,z): (x,y)\in D_{xy}, 0\leq z\leq 1-x-y\}$
其中$D_{xy}=\{(x,y): 0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq 1-x\}$
$I=\iint_{D_{xy}} dxdy \int_0^{1-x-y} x dz = \iint_{D_{xy}} x(1-x-y)dxdy = \cdots = \frac{1}{24}$
法二（先二后一）：
$\Omega=\{(x,y,z): 0\leq z\leq 1, (x,y)\in D_z\}$
其中$D_z=\{(x,y): 0\leq x\leq 1-z, 0\leq y\leq 1-z-x\}$
$I=\int_0^1 dz \iint_{D_z} x dxdy = \int_0^1 dz \int_0^{1-z} dx \int_0^{1-z-x} x dy = \cdots = \frac{1}{24}$
四、柱坐标下三重积分的计算
柱坐标变换公式
$x=\rho\cos\theta, \quad y=\rho\sin\theta, \quad z=z$
体积元变换
$dxdydz = \rho d\rho d\theta dz$
柱坐标下三重积分公式
$\iiint_{\Omega} f(x,y,z)dxdydz = \iiint_{\Omega'} f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta, z)\rho d\rho d\theta dz$
注意：在柱坐标中，$z$的范围确定与直角坐标相同；$\rho$和$\theta$由$\Omega$在$xOy$平面上的投影区域确定，方法与二重积分一样。
例5：柱坐标计算三重积分
计算 $I=\iiint_{\Omega} z dxdydz$，其中$\Omega$是由半球面$z=\sqrt{4-x^2-y^2}$与抛物面$x^2+y^2=3z$所围成的区域。
$z=\sqrt{4-x^2-y^2} \Leftrightarrow z=\sqrt{4-\rho^2}$
$x^2+y^2=3z \Leftrightarrow z=\frac{\rho^2}{3}$
$\Omega$在$xOy$平面上的投影：$D_{xy}=\{(x,y): x^2+y^2\leq 3\}=\{(\rho,\theta): 0\leq\theta\leq 2\pi, 0\leq\rho\leq\sqrt{3}\}$
$\Omega=\{(\rho,\theta,z): 0\leq\theta\leq 2\pi, 0\leq\rho\leq\sqrt{3}, \frac{\rho^2}{3}\leq z\leq\sqrt{4-\rho^2}\}$
$I=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\sqrt{3}}d\rho\int_{\frac{\rho^2}{3}}^{\sqrt{4-\rho^2}} z\rho dz = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\sqrt{3}}\rho(4-\rho^2-\frac{1}{9}\rho^4)d\rho = \frac{13}{4}\pi$
$x^2+y^2=3z \Leftrightarrow z=\frac{\rho^2}{3}$
$\Omega$在$xOy$平面上的投影：$D_{xy}=\{(x,y): x^2+y^2\leq 3\}=\{(\rho,\theta): 0\leq\theta\leq 2\pi, 0\leq\rho\leq\sqrt{3}\}$
$\Omega=\{(\rho,\theta,z): 0\leq\theta\leq 2\pi, 0\leq\rho\leq\sqrt{3}, \frac{\rho^2}{3}\leq z\leq\sqrt{4-\rho^2}\}$
$I=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\sqrt{3}}d\rho\int_{\frac{\rho^2}{3}}^{\sqrt{4-\rho^2}} z\rho dz = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\sqrt{3}}\rho(4-\rho^2-\frac{1}{9}\rho^4)d\rho = \frac{13}{4}\pi$
五、球坐标下三重积分的计算
球坐标变换公式
$x=\rho\sin\varphi\cos\theta, \quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta, \quad z=\rho\cos\varphi$
体积元变换（雅可比）
$dxdydz = \rho^2\sin\varphi d\rho d\varphi d\theta$
球坐标下三重积分公式
$\iiint_{\Omega} f(x,y,z)dxdydz = \iiint_{\Omega'} f(\rho\sin\varphi\cos\theta,\rho\sin\varphi\sin\theta,\rho\cos\varphi)\rho^2\sin\varphi d\rho d\varphi d\theta$
注意：计算时通常采用先对$\rho$积分，再对$\varphi$积分，最后对$\theta$积分的顺序。难点是如何将积分区域用$\rho,\varphi,\theta$表示出来。
例6：球坐标计算三重积分
计算 $I=\iiint_{\Omega}(x^2+y^2+z^2)dxdydz$，其中$\Omega$是由锥面$z=\sqrt{x^2+y^2}$与球面$x^2+y^2+z^2=2z$所围的区域。
$z=\sqrt{x^2+y^2} \Leftrightarrow \varphi=\frac{\pi}{4}$
$x^2+y^2+z^2=2z \Leftrightarrow \rho=2\cos\varphi$
$\Omega=\{(\rho,\varphi,\theta): 0\leq\theta\leq 2\pi, 0\leq\varphi\leq\frac{\pi}{4}, 0\leq\rho\leq 2\cos\varphi\}$
$I=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\frac{\pi}{4}}d\varphi\int_0^{2\cos\varphi}\rho^2\cdot\rho^2\sin\varphi d\rho = 2\pi\cdot\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\sin\varphi\cdot\frac{1}{5}\rho^5\big|_0^{2\cos\varphi})d\varphi = \frac{64}{5}\pi\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin\varphi\cos^5\varphi d\varphi = \frac{28}{15}\pi$
$x^2+y^2+z^2=2z \Leftrightarrow \rho=2\cos\varphi$
$\Omega=\{(\rho,\varphi,\theta): 0\leq\theta\leq 2\pi, 0\leq\varphi\leq\frac{\pi}{4}, 0\leq\rho\leq 2\cos\varphi\}$
$I=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\frac{\pi}{4}}d\varphi\int_0^{2\cos\varphi}\rho^2\cdot\rho^2\sin\varphi d\rho = 2\pi\cdot\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\sin\varphi\cdot\frac{1}{5}\rho^5\big|_0^{2\cos\varphi})d\varphi = \frac{64}{5}\pi\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin\varphi\cos^5\varphi d\varphi = \frac{28}{15}\pi$
📝 知识点总结
本节系统讲解了重积分的计算方法，包括二重积分在直角坐标系（X-型域、Y-型域）和极坐标系下的计算，以及三重积分在直角坐标系（先一后二法、先二后一法）、柱坐标系和球坐标系下的计算。重点在于根据积分区域的形状选择适当的坐标系和积分次序，正确写出积分区域的不等式表示，并注意坐标变换时的雅可比行列式因子（极坐标多一个$\rho$，柱坐标多一个$\rho$，球坐标多一个$\rho^2\sin\varphi$）。