无穷级数核心内容
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一、正项级数敛散性判别
正项级数：若级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$满足$u_n \geq 0$，则称为正项级数。
$\sum_{n=1}^{\infty} u_n, \quad u_n \geq 0$
比较判别法：设$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$和$\sum_{n=1}^{\infty} v_n$都是正项级数
(i) 设 $u_n \leq v_n$，则 $\begin{cases} \sum v_n \text{收敛} \Rightarrow \sum u_n \text{收敛} \\ \sum u_n \text{发散} \Rightarrow \sum v_n \text{发散} \end{cases}$
(ii)（极限形式）设 $\lim_{n\to\infty} \frac{u_n}{v_n} = l$，则
$\begin{cases} 0 < l < +\infty \text{时}, & \sum u_n \text{和} \sum v_n \text{同敛散} \\ l = 0 \text{时}, & \sum v_n \text{收敛} \Rightarrow \sum u_n \text{收敛} \\ l = +\infty \text{时}, & \sum v_n \text{发散} \Rightarrow \sum u_n \text{发散} \end{cases}$
(ii)（极限形式）设 $\lim_{n\to\infty} \frac{u_n}{v_n} = l$，则
$\begin{cases} 0 < l < +\infty \text{时}, & \sum u_n \text{和} \sum v_n \text{同敛散} \\ l = 0 \text{时}, & \sum v_n \text{收敛} \Rightarrow \sum u_n \text{收敛} \\ l = +\infty \text{时}, & \sum v_n \text{发散} \Rightarrow \sum u_n \text{发散} \end{cases}$
常用比较级数：
(i) $p$-级数：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \begin{cases} \text{收敛}, & p > 1 \\ \text{发散}, & p \leq 1 \end{cases}$
(ii) 等比级数：$\sum_{n=1}^{\infty} q^n \begin{cases} \text{收敛}, & |q| < 1 \\ \text{发散}, & |q| \geq 1 \end{cases}$
(ii) 等比级数：$\sum_{n=1}^{\infty} q^n \begin{cases} \text{收敛}, & |q| < 1 \\ \text{发散}, & |q| \geq 1 \end{cases}$
比值判别法：
若 $\lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho$，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n \begin{cases} \text{收敛}, & \rho < 1 \\ \text{发散}, & \rho > 1 \end{cases}$
注意：$\rho = 1$ 时不能判断
注意：$\rho = 1$ 时不能判断
例1
判断下列级数的敛散性：
(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n}{2^n}$
(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{10^n}$
(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n}{2^n}$
(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{10^n}$
(1) $u_n = \frac{3n}{2^n}$，由 $\lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{3(n+1)}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{3n} = \frac{1}{2} < 1$，故级数收敛。
(2) $u_n = \frac{n!}{10^n}$，$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1)!}{10^{n+1}} \cdot \frac{10^n}{n!} = \frac{n+1}{10} \to +\infty > 1$，故级数发散。
(2) $u_n = \frac{n!}{10^n}$，$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1)!}{10^{n+1}} \cdot \frac{10^n}{n!} = \frac{n+1}{10} \to +\infty > 1$，故级数发散。
根值判别法：
若 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{u_n} = \rho$，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n \begin{cases} \text{收敛}, & \rho < 1 \\ \text{发散}, & \rho > 1 \end{cases}$
注意：$\rho = 1$ 时不能判断
注意：$\rho = 1$ 时不能判断
例2
判断下列级数的敛散性：
(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n \cdot n^3}{4^n}$
(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{4n}{3n-1}\right)^{2n-1}$
(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n \cdot n^3}{4^n}$
(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{4n}{3n-1}\right)^{2n-1}$
(1) $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{3^n \cdot n^3}{4^n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{3\sqrt[n]{n^3}}{4} = \frac{3}{4} < 1$，故收敛。
(2) $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left(\frac{4n}{3n-1}\right)^{2n-1}} = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{4n}{3n-1}\right)^{\frac{2n-1}{n}} = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9} > 1$，故发散。
(2) $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left(\frac{4n}{3n-1}\right)^{2n-1}} = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{4n}{3n-1}\right)^{\frac{2n-1}{n}} = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9} > 1$，故发散。
总结：(1)要会求极限；(2)根据$u_n$选择不同判别法：比较判别法求$\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}$，比值判别法求$\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}$，根值判别法求$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}$。比值和根值判别法极限等于1时不能判断。
二、交错级数
交错级数的一般形式：
$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n u_n$ 或 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} u_n$，其中 $u_n \geq 0$
莱布尼茨定理：
若交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n u_n$ 满足：$\{u_n\}$ 单调递减且 $\lim_{n\to\infty} u_n = 0$，则级数收敛。
例3
证明 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ 和 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}n}{n^2-1}$ 都收敛。
对第一个级数：$u_n = \frac{1}{n} \downarrow$ 且 $\lim_{n\to\infty} u_n = 0$，由莱布尼茨定理收敛。
对第二个级数：$u_n = \frac{n}{n^2-1}$，$\lim_{n\to\infty} u_n = 0$。令 $f(x) = \frac{x}{x^2-1}(x>1)$，则 $f'(x) = \frac{-1-x^2}{(x^2-1)^2} < 0$，故$f(x)$单调减，从而$u_n$单调减，由莱布尼茨定理收敛。
对第二个级数：$u_n = \frac{n}{n^2-1}$，$\lim_{n\to\infty} u_n = 0$。令 $f(x) = \frac{x}{x^2-1}(x>1)$，则 $f'(x) = \frac{-1-x^2}{(x^2-1)^2} < 0$，故$f(x)$单调减，从而$u_n$单调减，由莱布尼茨定理收敛。
三、绝对收敛与条件收敛
定义：
(1) 若 $\sum_{n=1}^{\infty} |u_n|$ 收敛，则称 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 绝对收敛；
(2) 若 $\sum_{n=1}^{\infty} |u_n|$ 发散，但 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则称 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 条件收敛。
(2) 若 $\sum_{n=1}^{\infty} |u_n|$ 发散，但 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则称 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 条件收敛。
注意：①绝对收敛$\Rightarrow$收敛；②条件收敛的例子：$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$
例4
判断敛散性，若收敛指出绝对收敛还是条件收敛：
(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n\alpha}{n^2}$ ($\alpha$为常数)
(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n^2+2}}$
(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n\alpha}{n^2}$ ($\alpha$为常数)
(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n^2+2}}$
(1) $\left|\frac{\sin n\alpha}{n^2}\right| \leq \frac{1}{n^2}$，而$\sum\frac{1}{n^2}$收敛，故原级数绝对收敛。
(2) $\frac{1}{\sqrt{n^2+2}} \downarrow$ 且 $\to 0$，故级数收敛。又$\left|\frac{(-1)^n}{\sqrt{n^2+2}}\right| = \frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$，由$\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}}{\frac{1}{n}} = 1$且$\sum\frac{1}{n}$发散，故$\sum\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$发散，所以原级数条件收敛。
(2) $\frac{1}{\sqrt{n^2+2}} \downarrow$ 且 $\to 0$，故级数收敛。又$\left|\frac{(-1)^n}{\sqrt{n^2+2}}\right| = \frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$，由$\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}}{\frac{1}{n}} = 1$且$\sum\frac{1}{n}$发散，故$\sum\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$发散，所以原级数条件收敛。
四、幂级数的收敛区间与收敛域
幂级数的一般形式：
$\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n$
收敛半径：
若 $\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \rho$，则
$$R = \begin{cases} \frac{1}{\rho}, & \rho \in (0,+\infty) \\ +\infty, & \rho = 0 \\ 0, & \rho = +\infty \end{cases}$$
$$R = \begin{cases} \frac{1}{\rho}, & \rho \in (0,+\infty) \\ +\infty, & \rho = 0 \\ 0, & \rho = +\infty \end{cases}$$
收敛区间与收敛域：
收敛区间为 $(x_0-R, x_0+R)$；收敛区间加上可能收敛的端点，称为收敛域。
例5
求下列幂级数的收敛区间和收敛域：
(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n$
(2) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^n$
(3) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n \cdot n} (x+1)^n$
(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n$
(2) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^n$
(3) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n \cdot n} (x+1)^n$
(1) $a_n = \frac{(-1)^{n-1}}{n}$，$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1} = 1$，$R=1$，收敛区间$(-1,1)$。$x=1$时收敛；$x=-1$时发散。收敛域$(-1,1]$。
(2) $a_n = \frac{1}{n!}$，$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1} = 0$，$R=+\infty$。收敛域$(-\infty,+\infty)$。
(3) $a_n = \frac{1}{2^n \cdot n}$，$\lim_{n\to\infty}\frac{2^n \cdot n}{2^{n+1}(n+1)} = \frac{1}{2}$，$R=2$。中心$x_0=-1$，收敛区间$(-3,1)$。$x=1$时$\sum\frac{1}{n}$发散；$x=-3$时$\sum\frac{(-1)^n}{n}$收敛。收敛域$[-3,1)$。
(2) $a_n = \frac{1}{n!}$，$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1} = 0$，$R=+\infty$。收敛域$(-\infty,+\infty)$。
(3) $a_n = \frac{1}{2^n \cdot n}$，$\lim_{n\to\infty}\frac{2^n \cdot n}{2^{n+1}(n+1)} = \frac{1}{2}$，$R=2$。中心$x_0=-1$，收敛区间$(-3,1)$。$x=1$时$\sum\frac{1}{n}$发散；$x=-3$时$\sum\frac{(-1)^n}{n}$收敛。收敛域$[-3,1)$。
五、求幂级数的和函数
和函数定义：
设 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 的收敛域为 $D$，则对 $\forall x \in D$，级数确定的函数 $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 称为和函数。
求法：利用已知幂级数的和函数（主要是$\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$，$|x|<1$）及幂级数的性质（逐项求导、逐项积分）。
例6
求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n$ 的和函数。
收敛域为$(-1,1)$。设$S(t) = \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)t^n$，则
$$\int_0^x S(t)\,dt = \sum_{n=0}^{\infty} x^{n+1} = \frac{x}{1-x}$$
两边求导：$S(x) = \left(\frac{x}{1-x}\right)' = \frac{1}{(1-x)^2}$
$$\int_0^x S(t)\,dt = \sum_{n=0}^{\infty} x^{n+1} = \frac{x}{1-x}$$
两边求导：$S(x) = \left(\frac{x}{1-x}\right)' = \frac{1}{(1-x)^2}$
例7
求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n+1}$ 的和函数。
收敛域为$[-1,1)$。设$S(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n+1}$，则
$$xS(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1}, \quad (xS(x))' = \sum_{n=0}^{\infty}x^n = \frac{1}{1-x}$$
积分得：$xS(x) = -\ln(1-x)$
故 $S(x) = \begin{cases} -\frac{1}{x}\ln(1-x), & x \neq 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}$
$$xS(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1}, \quad (xS(x))' = \sum_{n=0}^{\infty}x^n = \frac{1}{1-x}$$
积分得：$xS(x) = -\ln(1-x)$
故 $S(x) = \begin{cases} -\frac{1}{x}\ln(1-x), & x \neq 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}$
六、求函数的幂级数（泰勒）展开
泰勒级数：
$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + \cdots$
常见函数的泰勒级数：
① $e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$, $x \in \mathbb{R}$
② $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$, $x \in \mathbb{R}$
③ $\cos x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}$, $x \in \mathbb{R}$
④ $(1+x)^\alpha = 1 + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n$, $|x|<1$
特别地：$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty}x^n$, $\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n$, $|x|<1$
② $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$, $x \in \mathbb{R}$
③ $\cos x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}$, $x \in \mathbb{R}$
④ $(1+x)^\alpha = 1 + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n$, $|x|<1$
特别地：$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty}x^n$, $\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n$, $|x|<1$
展开方法：
(i) 直接展开法：直接求系数 $\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$
(ii) 间接展开法：利用已知展开式，借助级数性质（逐项求导、积分等）
(ii) 间接展开法：利用已知展开式，借助级数性质（逐项求导、积分等）
例8
将 $f(x)=\frac{1}{x^2+4x+3}$ 展开成 $(x-1)$ 的幂级数。
$f(x) = \frac{1}{(x+1)(x+3)} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+x} - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3+x}$
$\frac{1}{1+x} = \frac{1}{2+(x-1)} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+\frac{x-1}{2}} = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^n}(x-1)^n$，收敛域$-1<x<3$
$\frac{1}{3+x} = \frac{1}{4+(x-1)} = \frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{4^n}(x-1)^n$，收敛域$-3<x<5$
$\therefore f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{1}{2^{n+2}}-\frac{1}{2^{2n+3}}\right)(x-1)^n$，收敛域$-1<x<3$
$\frac{1}{1+x} = \frac{1}{2+(x-1)} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+\frac{x-1}{2}} = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^n}(x-1)^n$，收敛域$-1<x<3$
$\frac{1}{3+x} = \frac{1}{4+(x-1)} = \frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{4^n}(x-1)^n$，收敛域$-3<x<5$
$\therefore f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{1}{2^{n+2}}-\frac{1}{2^{2n+3}}\right)(x-1)^n$，收敛域$-1<x<3$
例9
将 $f(x)=(1-x)\ln(1+x)$ 展开成 $x$ 的幂级数。
由 $(\ln(1+x))' = \frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n$（$-1<x<1$）
积分得：$\ln(1+x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}$（$-1<x\leq 1$）
$\therefore f(x) = (1-x)\ln(1+x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1} - \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+2}$
整理得：$f(x) = x + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}(2n-1)}{n(n+1)}x^{n+1}$，$-1<x\leq 1$
积分得：$\ln(1+x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}$（$-1<x\leq 1$）
$\therefore f(x) = (1-x)\ln(1+x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1} - \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+2}$
整理得：$f(x) = x + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}(2n-1)}{n(n+1)}x^{n+1}$，$-1<x\leq 1$
七、傅里叶级数
以$2\pi$为周期的傅里叶级数：
$\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx + b_n\sin nx)$
其中 $a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx$（$n=0,1,2,\cdots$）
$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx$（$n=1,2,\cdots$）
其中 $a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx$（$n=0,1,2,\cdots$）
$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx$（$n=1,2,\cdots$）
狄利克雷收敛定理：
设 $S(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx + b_n\sin nx)$，则
$\begin{cases} x \text{是} f(x) \text{的连续点时}, & S(x) = f(x) \\ x \text{是} f(x) \text{的第一类间断点时}, & S(x) = \frac{f(x+0)+f(x-0)}{2} \end{cases}$
$\begin{cases} x \text{是} f(x) \text{的连续点时}, & S(x) = f(x) \\ x \text{是} f(x) \text{的第一类间断点时}, & S(x) = \frac{f(x+0)+f(x-0)}{2} \end{cases}$
例10
设$f(x)$以$2\pi$为周期，在$[-\pi,\pi)$上$f(x)=\begin{cases}0, & -\pi\leq x\leq 0 \\ x, & 0<x<\pi\end{cases}$，求傅里叶级数展开式，作和函数图形。
$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}x\,dx = \frac{\pi}{2}$
$a_n = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}x\cos nx\,dx = \frac{(-1)^n-1}{n^2\pi}$（$n\geq 1$）
$b_n = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}x\sin nx\,dx = \frac{(-1)^{n+1}}{n}$
$\therefore f(x) \sim \frac{\pi}{4} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{(-1)^n-1}{n^2\pi}\cos nx + \frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin nx\right]$
当$x\neq(2k-1)\pi$时，$S(x)=f(x)$；当$x=(2k-1)\pi$时，$S(x)=\frac{\pi}{2}$。
$a_n = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}x\cos nx\,dx = \frac{(-1)^n-1}{n^2\pi}$（$n\geq 1$）
$b_n = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}x\sin nx\,dx = \frac{(-1)^{n+1}}{n}$
$\therefore f(x) \sim \frac{\pi}{4} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{(-1)^n-1}{n^2\pi}\cos nx + \frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin nx\right]$
当$x\neq(2k-1)\pi$时，$S(x)=f(x)$；当$x=(2k-1)\pi$时，$S(x)=\frac{\pi}{2}$。
八、周期为$2l$的傅里叶级数
一般形式：
$\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{l} + b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right)$
其中 $a_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx$（$n=0,1,2,\cdots$）
$b_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx$（$n=1,2,\cdots$）
其中 $a_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx$（$n=0,1,2,\cdots$）
$b_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx$（$n=1,2,\cdots$）
收敛定理与周期为$2\pi$时类似。
例11
将 $f(x)=\begin{cases}-1, & -3\leq x\leq 0 \\ 1, & 0<x\leq 3\end{cases}$ 展开成傅里叶级数，判断收敛性，并求 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}$ 的和。
$l=3$。$f(x)$为奇函数，$a_n = 0$（$n=0,1,2,\cdots$）
$b_n = \frac{2}{3}\int_0^3\sin\frac{n\pi x}{3}\,dx = \frac{2}{n\pi}[1-(-1)^n] = \begin{cases}\frac{4}{(2k-1)\pi}, & n=2k-1 \\ 0, & n=2k\end{cases}$
$\therefore f(x) \sim \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1}\sin\frac{(2n-1)\pi x}{3}$
收敛性：$x\in(-3,0)\cup(0,3)$时$S(x)=f(x)$；$x=0,\pm3$时$S(x)=0$。
$S\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} = f\left(\frac{3}{2}\right) = 1$
$\therefore \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} = \frac{\pi}{4}$
$b_n = \frac{2}{3}\int_0^3\sin\frac{n\pi x}{3}\,dx = \frac{2}{n\pi}[1-(-1)^n] = \begin{cases}\frac{4}{(2k-1)\pi}, & n=2k-1 \\ 0, & n=2k\end{cases}$
$\therefore f(x) \sim \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1}\sin\frac{(2n-1)\pi x}{3}$
收敛性：$x\in(-3,0)\cup(0,3)$时$S(x)=f(x)$；$x=0,\pm3$时$S(x)=0$。
$S\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} = f\left(\frac{3}{2}\right) = 1$
$\therefore \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} = \frac{\pi}{4}$
📝 知识点总结
本节系统讲解了无穷级数的核心内容，包括：正项级数的比较判别法、比值判别法、根值判别法；交错级数的莱布尼茨定理；绝对收敛与条件收敛的概念；幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域的求法；幂级数和函数的求法（逐项求导、逐项积分）；函数的泰勒展开（直接展开法与间接展开法）；傅里叶级数的展开及狄利克雷收敛定理；周期为2l的傅里叶级数推广。重点掌握各种判别法的适用条件、收敛域端点的讨论、以及利用已知展开式进行间接展开的技巧。