微分方程求解方法
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六、微分方程
1. 可分离变量的方程
可分离变量方程的一般形式
$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$ 或 $y' = f(x)g(y)$
解法：当 $g(y) \neq 0$ 时，将方程变为 $\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$，两边分别积分（左边关于 $y$ 积分，右边关于 $x$ 积分）
$\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$
当 $g(y) = 0$ 时需单独讨论是否为方程的解
例：求微分方程 $y' - y\cos x = 0$ 的通解
求微分方程 $y' - y\cos x = 0$ 的通解
原方程变形为 $\frac{dy}{dx} = y\cos x$。当 $y \neq 0$ 时，分离变量得 $\frac{dy}{y} = \cos x\, dx$。两边积分：$\ln|y| = \sin x + C_1$，即 $|y| = e^{C_1} \cdot e^{\sin x}$，记 $C = \pm e^{C_1} \neq 0$，得 $y = Ce^{\sin x}$。当 $y = 0$ 时，$y \equiv 0$ 也是解，可并入上式（$C=0$）。故通解为 $y = Ce^{\sin x}$，其中 $C$ 为任意常数。
2. 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式
$\frac{dy}{dx} + p(x)y = Q(x)$ 或 $y' + p(x)y = Q(x)$
通解公式（常数变易法推导，此处直接用公式）
$y = e^{-\int p(x)dx} \left( \int Q(x)e^{\int p(x)dx} dx + C \right)$
计算不定积分 $\int p(x)dx$ 时，不加任意常数（或取 $C=0$）
例：求 $xy' + y = x^2 + 3x + 2$ 满足 $y(-1) = \frac{5}{6}$ 的特解
求 $xy' + y = x^2 + 3x + 2$ 满足 $y(-1) = \frac{5}{6}$ 的特解
将方程改写为标准形式：$y' + \frac{1}{x}y = x + 3 + \frac{2}{x}$，即 $p(x) = \frac{1}{x}$，$Q(x) = x + 3 + \frac{2}{x}$。代入通解公式：$$y = e^{-\int\frac{1}{x}dx}\left[\int\left(x+3+\frac{2}{x}\right)e^{\int\frac{1}{x}dx}dx + C\right] = \frac{1}{x}\left[\int\left(x+3+\frac{2}{x}\right)\cdot x\, dx + C\right]$$ $$= \frac{1}{x}\left(\frac{x^3}{3} + \frac{3}{2}x^2 + 2x + C\right) = \frac{x^2}{3} + \frac{3x}{2} + 2 + \frac{C}{x}$$由 $y(-1) = \frac{5}{6}$，代入得 $\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2 - C = \frac{5}{6}$，解得 $C = 0$。故特解为 $y = \frac{x^2}{3} + \frac{3x}{2} + 2$。
3. 常系数线性齐次微分方程（以二阶为例）
一般形式
$y'' + py' + qy = 0$，其中 $p, q$ 为常数
解法：先求特征方程 $r^2 + pr + q = 0$ 的根，根据根的情况写出通解
$r^2 + pr + q = 0$
特征方程有两个不相等的实根 $r_1, r_2$ 时，通解为
$y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$
特征方程有两个相等的实根 $r$ 时，通解为
$y = (C_1 + C_2 x) e^{rx}$
特征方程有复根 $\alpha \pm i\beta$ 时，通解为
$y = e^{\alpha x}(C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x)$
例：求下列微分方程的通解
(1) $y''-4y'+3y=0$; (2) $y''+4y'+4y=0$; (3) $y''-2y'+5y=0$
(1) 特征方程 $r^2 - 4r + 3 = 0$，解得 $r_1 = 1, r_2 = 3$。通解：$y = C_1 e^x + C_2 e^{3x}$。
(2) 特征方程 $r^2 + 4r + 4 = 0$，解得 $r_1 = r_2 = -2$。通解：$y = (C_1 + C_2 x)e^{-2x}$。
(3) 特征方程 $r^2 - 2r + 5 = 0$，判别式 $\Delta < 0$，根为 $r = 1 \pm 2i$（即 $\alpha = 1, \beta = 2$）。通解：$y = e^x(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x)$。
(2) 特征方程 $r^2 + 4r + 4 = 0$，解得 $r_1 = r_2 = -2$。通解：$y = (C_1 + C_2 x)e^{-2x}$。
(3) 特征方程 $r^2 - 2r + 5 = 0$，判别式 $\Delta < 0$，根为 $r = 1 \pm 2i$（即 $\alpha = 1, \beta = 2$）。通解：$y = e^x(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x)$。
4. 常系数线性非齐次微分方程（以二阶为例）
一般形式
$y'' + py' + qy = f(x)$，其中 $p, q$ 为常数，$f(x) \neq 0$
通解结构：$y = \bar{y} + y^*$，其中 $\bar{y}$ 是对应齐次方程的通解，$y^*$ 是非齐次方程的一个特解
特解 $y^*$ 的求法
当 $f(x) = P_n(x)e^{\lambda x}$ 时，$P_n(x)$ 为 $n$ 次多项式，$\lambda$ 为常数
$y^* = \begin{cases} Q_n(x)e^{\lambda x}, & \lambda \text{ 不是特征方程的根} \\ xQ_n(x)e^{\lambda x}, & \lambda \text{ 是特征方程的单根} \\ x^2Q_n(x)e^{\lambda x}, & \lambda \text{ 是特征方程的重根} \end{cases}$
其中 $Q_n(x)$ 是待定的 $n$ 次多项式，需代入原方程确定系数
当 $f(x) = e^{\lambda x}[P_m(x)\cos\omega x + Q_n(x)\sin\omega x]$ 时，$P_m(x), Q_n(x)$ 分别为 $m$ 次和 $n$ 次多项式
$y^* = \begin{cases} e^{\lambda x}[R_l(x)\cos\omega x + S_l(x)\sin\omega x], & \lambda+i\omega \text{ 不是特征方程的根} \\ xe^{\lambda x}[R_l(x)\cos\omega x + S_l(x)\sin\omega x], & \lambda+i\omega \text{ 是特征方程的根} \end{cases}$
其中 $R_l(x), S_l(x)$ 是待定的 $l$ 次多项式，$l = \max\{m, n\}$
例1：求 $y''-5y'+6y=xe^{2x}$ 的通解
求 $y''-5y'+6y=xe^{2x}$ 的通解
对应齐次方程 $y''-5y'+6y=0$，特征方程 $r^2-5r+6=0$，得 $r_1=2, r_2=3$。齐次通解：$\bar{y} = C_1e^{2x} + C_2e^{3x}$。
由 $f(x) = xe^{2x}$，知 $P_n(x)=x$（$n=1$），$\lambda=2$。因 $\lambda=2$ 是特征方程的单根，设特解 $y^* = x(ax+b)e^{2x} = (ax^2+bx)e^{2x}$。
代入原方程，比较系数得：$-2ax + (2a-b) = x$，即 $\begin{cases} -2a = 1 \\ 2a-b = 0 \end{cases}$，解得 $a = -\frac{1}{2}, b = -1$。
故 $y^* = x\left(-\frac{1}{2}x-1\right)e^{2x} = -\frac{1}{2}x(x+2)e^{2x}$。
通解为 $y = C_1e^{2x} + C_2e^{3x} - \frac{1}{2}x(x+2)e^{2x}$。
由 $f(x) = xe^{2x}$，知 $P_n(x)=x$（$n=1$），$\lambda=2$。因 $\lambda=2$ 是特征方程的单根，设特解 $y^* = x(ax+b)e^{2x} = (ax^2+bx)e^{2x}$。
代入原方程，比较系数得：$-2ax + (2a-b) = x$，即 $\begin{cases} -2a = 1 \\ 2a-b = 0 \end{cases}$，解得 $a = -\frac{1}{2}, b = -1$。
故 $y^* = x\left(-\frac{1}{2}x-1\right)e^{2x} = -\frac{1}{2}x(x+2)e^{2x}$。
通解为 $y = C_1e^{2x} + C_2e^{3x} - \frac{1}{2}x(x+2)e^{2x}$。
例2：求 $y''+y=x\cos 2x$ 的通解
求 $y''+y=x\cos 2x$ 的通解
对应齐次方程 $y''+y=0$，特征方程 $r^2+1=0$，得 $r = \pm i$。齐次通解：$\bar{y} = C_1\cos x + C_2\sin x$。
由 $f(x) = x\cos 2x$，知 $\lambda=0, \omega=2, P_m(x)=x, Q_n(x)=0$。因 $\lambda+i\omega = 2i$ 不是特征方程的根，设特解 $y^* = (ax+b)\cos 2x + (cx+d)\sin 2x$。
代入原方程得：$(-3ax-3b+4c)\cos 2x - (3cx+3d+4a)\sin 2x = x\cos 2x$。
比较系数：$\begin{cases} -3a = 1, & -3b+4c = 0 \\ -3c = 0, & -(3d+4a) = 0 \end{cases}$，解得 $a = -\frac{1}{3}, b = 0, c = 0, d = \frac{4}{9}$。
故 $y^* = -\frac{1}{3}x\cos 2x + \frac{4}{9}\sin 2x$。
通解为 $y = C_1\cos x + C_2\sin x - \frac{1}{3}x\cos 2x + \frac{4}{9}\sin 2x$。
由 $f(x) = x\cos 2x$，知 $\lambda=0, \omega=2, P_m(x)=x, Q_n(x)=0$。因 $\lambda+i\omega = 2i$ 不是特征方程的根，设特解 $y^* = (ax+b)\cos 2x + (cx+d)\sin 2x$。
代入原方程得：$(-3ax-3b+4c)\cos 2x - (3cx+3d+4a)\sin 2x = x\cos 2x$。
比较系数：$\begin{cases} -3a = 1, & -3b+4c = 0 \\ -3c = 0, & -(3d+4a) = 0 \end{cases}$，解得 $a = -\frac{1}{3}, b = 0, c = 0, d = \frac{4}{9}$。
故 $y^* = -\frac{1}{3}x\cos 2x + \frac{4}{9}\sin 2x$。
通解为 $y = C_1\cos x + C_2\sin x - \frac{1}{3}x\cos 2x + \frac{4}{9}\sin 2x$。
📝 知识点总结
本节系统讲解了四类微分方程的求解方法：可分离变量方程通过分离变量后积分求解，需注意 $g(y)=0$ 的情况；一阶线性方程直接使用通解公式；二阶常系数线性齐次方程通过特征方程根的情况分类讨论；二阶常系数线性非齐次方程的通解为齐次通解加特解，特解形式根据 $f(x)$ 的类型（多项式乘指数、或含三角函数）及特征根的关系确定，用待定系数法求解。
无穷级数核心内容
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